EJERCICIOS ÁLGEBRA
C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s
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Solución de los ejercicios 1, 2, 3 y 4:
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Solución de los ejercicios 5, 6, 7 y 8:
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1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico.
S o l u c i ó n
Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.
2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico.
S o l u c i ó n
Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.
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3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?
S o l u c i ó n
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Nota:
cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales
parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,
calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
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Respuesta: Ud. tiene + $67.
4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo
2 280. ¿Cuál es mi estado económico?
S o l u c i ó n
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Nota:
cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales
parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,
calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
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Respuesta: su estado económico es de + 437 soles.
5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo?
S o l u c i ó n
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Nota:
cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales
parciales de las cantidades positivas y de las negativas y, luego,
calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
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Respuesta: Ud. tiene - $30.
6.
Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra
compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico.
S o l u c i ó n
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Nota:
cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales
parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,
calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
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Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9.
7.
Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93.
Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo?
S o l u c i ó n
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Nota:
cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales
parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,
calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
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Respuesta: Ud. tiene - 70 colones.
8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene?
S o l u c i ó n
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Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y el de las negativas son iguales, el total es cero.
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Respuesta: Pedro tiene 0 pesos.
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Solución de los ejercicios 1 a 6:
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1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m.
S o l u c i ó n
Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° :
+12 - 15 = - 3.
Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°.
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2. A
las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8°
más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la
temperatura a las 9 p.m.
S o l u c i ó n
De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y
- 3 + 8 = +5
De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y
+ 5 - 6 = -1
Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.
3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura?
S o l u c i ó n
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|-3 - 15| = |-18| = 18
Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°.
4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura?
S o l u c i ó n
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13
Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°.
5.
A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las
4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la
temperatura a las 11 p.m.
S o l u c i ó n
De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y
- 4 + 7 = +3.
De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y
+3 + 2 = +5.
De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y
+5 - 11 = -6.
Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°.
6.
A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube
a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8
a.m. y a las 11 a.m.
S o l u c i ó n :
7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora}
-8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
8 - 6 = 2 y 4 * 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas}
-8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas}
-8 + 20 = 12
Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°.
7.
A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a
razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora.
Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a
las 2 p.m.
S o l u c i ó n :
Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1°
10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4
{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°}
-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6
{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°}
-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7°
12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3
{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°}
-7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9
{de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°}
-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°.
8.
El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer
meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su
longitud este día.
S o l u c i ó n :
56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}.
Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°.
9.
El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud
oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia
el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación
el día 26.
S o l u c i ó n :
Longitud: -71° + 5° = -66°
Latitud: -15° + (-5°) = -20°
Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°.
10.
El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y
65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se
ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31.
S o l u c i ó n :
Longitud: +18° + 3° = +21°
Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur}
Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°.
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción.
Solución:
Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60.
Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60.
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Solución de los ejercicios 1 a 7:
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1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical:
S o l u c i ó n
2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:
S o l u c i ó n
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos
S o l u c i ó n
5.
Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos,
enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n
6.
Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes:
tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado,
vigésimo grado
S o l u c i ó n
7.
Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado
con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de
séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que
sea de décimo grado con relación a la b
S o l u c i ó n
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Solución de los ejercicios 1 y 2:
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1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras
1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase qué clase son los polinomios siguientes:
2.
Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado
absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto.
Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado absoluto".
3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m.
4. De los siguientes polinomios:
escoger dos que sean homogéneos y dos hetereogéneos.
S o l u c i ó n :
Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto".
Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto".
Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales".
Los polinomios homogéneos serían: a) y e)
{en (a) todos los términos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado absoluto}.
Los polinomios heterogéneos serían: c) y d).
5. De los siguientes polinomios:
dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras.
S o l u c i ó n :
El polinomio (a) es completo respecto a la a.
El polinomio (c) es completo respecto a la y.
El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y.
6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos.
S o l u c i ó n :
7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente:
S o l u c i ó n :
8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente:
S o l u c i ó n :
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Sugerencia: lee cuidadosamente, en el Álgebra de Baldor, la página Nro 19.
Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y están afectadas por el mismo exponente.
P r o c e d i m i e n t o
Para
reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los
coeficientes de todos los términos y se antepone, al coeficiente total,
el mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte
literal.
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Reducir:
1. x + 2x.
S o l u c i ó n - J u a n B e l t r á n :
El signo común a todos los términos es el +.
Los coeficientes de los términos son 1 y 2.
La parte literal igual en todos los términos es x.
Y 1 + 2 = 3;
\ x + 2x = 3x.
2. 8a + 9a
S o l u c i ó n - J u a n B e l t r á n :
El signo común a todos los términos es el +.
Los coeficientes de los términos son 8 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es a.
Y 8 + 9 = 17;
\ 8a + 9a = 17a.
3. 11b + 9b
S o l u c i ó n - J u a n B e l t r á n :
El signo común a todos los términos es el +.
Los coeficientes de los términos son 11 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es b.
Y 11 + 9 = 20;
\ 11b + 9a = 20b.
4. -b - 5b.
S o l u c i ó n - J u a n B e l t r á n :
El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 1 y 5.
La parte literal igual en todos los términos es b.
Y 1 + 5 = 6;
\ -b - 5b = -6b.
5. -8m - m
S o l u c i ó n - J u a n B e l t r á n :
El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 8 y 1.
La parte literal igual en todos los términos es m.
Y 8 + 1 = 9;
\ -8m - m = -9m.
6. -9m - 7m
S o l u c i ó n - J u a n B e l t r á n :
El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 9 y 7.
La parte literal igual en todos los términos es m.
Y 9 + 7 = 16;
\ -9m - 7m = -16m.
Reducción de dos términos semejantes de distinto signo
P r o c e d i m i e n t o
Para
reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la
diferencia entre los coeficientes de los términos, colocando antes de
esta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a
continuación se escribe la parte literal.
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Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Reducir:
Procedimiento
Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos, se procede así:
1) Se reducen a un solo término todos los positivos.
2) Se reducen a un solo término todos los negativos.
3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos anteriores.
4)
El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será
el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos
hallados en los pasos (1) y (2).
5) Por último, se escribe la parte literal.
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Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 1, 2 y 3:
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Solución del ejercicio 4, 5 y 6:
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Solución del ejercicio 7, 8 y 9:
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Solución del ejercicio 10 y 11:
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Solución de los ejercicios 12, 13 y 14:
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Solución del ejercicio 15, 16 y 17:
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Solución del ejercicio 18, 19 y 20:
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Solución de los ejercicios 21 y 22:
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Solución de los ejercicios 23 y 24:
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Reducción de términos semejantes
Redución de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases
P r o c e d i m i e n t o
Para reducir un polinomio con diversos términos semejantes de diversas clases, se procede de la siguiente manera:
1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis
2. Se reducen los términos semejantes
3. Se da la respuesta, ordenando el polinommio resultante
Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes
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Reducir los polinomios siguientes:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 1, 2 y 3:
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Solución del ejercicio 4, 5 y 6:
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Solución del ejercicio 7 y 8:
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Solución del ejercicio 9 y 10:
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Solución del ejercicio 11 y 12:
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V a l o r n u m é r i c o
Valor numérico de expresiones simples
P r o c e d i m i e n t o
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
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Solución de los ejercicios 1 a 4:
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Solución de los ejercicios 1 a 6:
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Solución de los ejercicios 5 a 8:
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Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
º
Valor numérico de expresiones compuestas
P r o c e d i m i e n t o
1. Se reemplaza cada letra por su respectivo valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
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Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 9:
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Solución del ejercicio 10:
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Solución del ejercicio 11:
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
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Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 8:
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Solución del ejercicio 9:
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Solución del ejercicio 10:
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Ejercicios sobre notación algebraica
S u m a
Suma de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos
2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma:
a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común
b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto
c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal
Nota:
recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen
las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
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S u m a r :
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 48:
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Solución del ejercicio 49:
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Solución del ejercicio 50:
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios
2.
Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una
fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la
misma columna
3. Se reducen los términos semejantes:
a. Se suman los términos positivos
b. Se suman los términos negativos
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
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Hallar la suma de:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 24:
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Solución del ejercicio 25:
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Solución del ejercicio 26:
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios
2.
Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una
fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la
misma columna
3. Se reducen los términos semejantes:
a. Se suman los términos positivos
b. Se suman los términos negativos
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
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Hallar la suma de:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 8 a 10:
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Solución del ejercicio 26 y 27:
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Solución del ejercicio 28:
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Solución del ejercicio 29:
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Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios
2.
Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una
fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la
misma columna
3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.)
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Hallar la suma de:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 12:
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Solución del ejercicio 13:
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Solución del ejercicio 14:
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Suma de polinomios y valor numérico
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios
2. Se suman los polinomios
3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico
4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado
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Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 5:
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Solución del ejercicio 6:
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Solución del ejercicio 7:
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Resta de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo
2.
Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el
sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en
la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y,
cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reducen los términos semejantes
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
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De:
Pa r a v e r l o s v i d e o s h a g a c l i c e n e l í c o n o c o r r e s p o n d i e n t e:
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Solución del ejercicio 8:
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Solución del ejercicio 9:
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Solución del ejercicio 10:
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo
2.
Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el
sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en
la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y,
cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.
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Restar:
