FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción Algebraica; Es la división de dos polinomios llamados NUMERADOR (el dividendo) y DENOMINADOR (el divisor) donde éste último es a lo menos de primer grado. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es una FRACCION PROPIA; de lo contrario es FRACCION IMPROPIA.
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES; Consiste en transformarla a otra fracción equivalente mediante las FACTORIZACIONES; cuyos polinomios numerador y denominador son irreductibles (primos entre sí)
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS:
1. ADICION Y SUSTRACCIONCASO 1: Fracciones Homogéneas; se escribe el mismo denominador y se efectúan las operaciones del numerador sea adición o sustracción
CASO 2: Fracciones Heterogéneas; denominadores distintos de la cual hallamos el MCM, para convertir en fracciones homogéneas las fracciones dadas.
2. MULTIPLICACION DE F.A.; Se factoriza primero todos los polinomios que aparecen como numeradores y denominadores, luego efectuamos la multiplicación en forma horizontal eliminando finalmente factores comunes si los hubiera
3. DIVISION DE F.A.; podemos efectuar de 2 maneras:
CASO 1: Transformar la división en multiplicación de fracciones INVIIRTIENDO la fracción que hace de DIVISOR
CASO 2: Empleamos la Regla de PRODUCTO DE EXTREMOS ENTRE PRODUCTO DE MEDIOS
CARPETA PEDAGOGICA:
TITULO DE LA UNIDAD: JUGANDO CON EL ALGEBRA – II UnidadTEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Realiza simplificación de fracciones algebraicas
· Resuelve ejercicios de operaciones con fracciones algebraicas
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS:
1. ADICION Y SUSTRACCIONCASO 1: Fracciones Homogéneas; se escribe el mismo denominador y se efectúan las operaciones del numerador sea adición o sustracción
CASO 2: Fracciones Heterogéneas; denominadores distintos de la cual hallamos el MCM, para convertir en fracciones homogéneas las fracciones dadas.
2. MULTIPLICACION DE F.A.; Se factoriza primero todos los polinomios que aparecen como numeradores y denominadores, luego efectuamos la multiplicación en forma horizontal eliminando finalmente factores comunes si los hubiera
3. DIVISION DE F.A.; podemos efectuar de 2 maneras:
CASO 1: Transformar la división en multiplicación de fracciones INVIIRTIENDO la fracción que hace de DIVISOR
CASO 2: Empleamos la Regla de PRODUCTO DE EXTREMOS ENTRE PRODUCTO DE MEDIOS
CARPETA PEDAGOGICA:
TITULO DE LA UNIDAD: JUGANDO CON EL ALGEBRA – II UnidadTEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Realiza simplificación de fracciones algebraicas
· Resuelve ejercicios de operaciones con fracciones algebraicas
INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE; El interés comercial ( I ) es una cantidad que se paga o se gana por el préstamo de cierta cantidad de dinero (Capital) de acuerdo a una cierta tasa de interés ( i ) en un determinado periodo o tiempo ( t ). Existen dos tipos de interés: simple y compuesto.El interés simple se averigua siempre sobre la cantidad inicialmente prestada; mientras, el compuesto se realiza sobre el capital pendiente de pago.El interés simple en forma general se calcula mediante: I = C . i . tDonde:I = intereses, a pagar por el préstamo; C = capital, o cantidad de dinero prestado; i = tasa de interés o rédito en %, porcentaje de interés del préstamo; t = tiempo; que puede estar en días, meses y años, para devolver el préstamo.En el denominador ( d ) se considera:
Si el tiempo está en años, d = 100
Si el tiempo está en meses, d = 1200
Si el tiempo está en años, d = 100
Si el tiempo está en meses, d = 1200
Si el tiempo está en días, d = 36000
MONTO: Es el Interés obtenido más el Capital inicial: M= I + C ; ó también mediante: M = C (1 + i .t) que permite calcular el Monto en forma directa
PROBLEMAS:Problema 1). Kenny pidió un préstamo al Banco por valor de 6500 soles, a devolver en 5 años. Si el banco se lo concedió al 6 %, ¿cuánto pagará de intereses?. Siempre que no se diga otra cosa, el interés en % se entiende como fijo y anual. Para plantear los problemas de interés simple debemos anotar la fórmula y los datos:
Solución: Datos: C= 6500 i = 6% t = 5 años I = ??
Forma General: I = C.i.t ó I = (C.i.t)/100; entonces reemplazando datos: I = 6500.6/100.5 ó I = (6500.6.5)/100 ; tenemos el interés: I= 1950 soles
Problema 2). Yuled presta 8000 soles a pagar en 18 meses y con una tasa de interés de 5 %. Calcular: ¿El interés que deberá recibir Yuled y su nuevo capital (monto)?
Solución: Datos: C= 8000 i = 5% t = 18 meses I = ??
Forma General: I = (C.i.t)/100 ; pero como el tiempo está en meses, 1 año= 12 meses; por lo tanto, tenemos: I = (C.i.t)/1200 entonces reemplazando datos: I = (8000.5.18)/1200, luego: I= 600 soles. El MONTO será: M = C + I; reemplazando datos; M = 8000 + 600 por lo tanto: M = 8600 soles.
Solución: Datos: C= 6500 i = 6% t = 5 años I = ??
Forma General: I = C.i.t ó I = (C.i.t)/100; entonces reemplazando datos: I = 6500.6/100.5 ó I = (6500.6.5)/100 ; tenemos el interés: I= 1950 soles
Problema 2). Yuled presta 8000 soles a pagar en 18 meses y con una tasa de interés de 5 %. Calcular: ¿El interés que deberá recibir Yuled y su nuevo capital (monto)?
Solución: Datos: C= 8000 i = 5% t = 18 meses I = ??
Forma General: I = (C.i.t)/100 ; pero como el tiempo está en meses, 1 año= 12 meses; por lo tanto, tenemos: I = (C.i.t)/1200 entonces reemplazando datos: I = (8000.5.18)/1200, luego: I= 600 soles. El MONTO será: M = C + I; reemplazando datos; M = 8000 + 600 por lo tanto: M = 8600 soles.
INTERES COMPUESTO:
Capitalización de InteresesLa gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses.
Este fenómeno se conoce con el nombre de Capitalización de Intereses. La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés simple liquida los intereses cada periodo y se pagan inmediatamente; en el interés compuesto los intereses liquidados se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado Monto y sobre este monto se calculan los nuevos intereses del siguiente periodo.
Este fenómeno se conoce con el nombre de Capitalización de Intereses. La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés simple liquida los intereses cada periodo y se pagan inmediatamente; en el interés compuesto los intereses liquidados se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado Monto y sobre este monto se calculan los nuevos intereses del siguiente periodo.
CARPETA PEDAGOGICA:TITULO DE LA UNIDAD: CONSTRUYENDO LOS SISTEMAS NUMERICOS Y PROGRESIONESTEMA: INTERES SIMPLE é INTERES COMPUESTO
APRENDIZAJES ESPERADOS:· Resuelve problemas referidos a interés simple en contextos comerciales o financieros
· Resuelve problemas referidos a interés compuesto en contextos comerciales o financieros
SUCESIONES Y PROGRSIONES
CARPETA PEDAGOGICA:TITULO DE LA UNIDAD: CONSTRUYENDO LOS SISTEMAS NUMERICOS Y PROGRESIONES
TEMA: PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA
APRENDIZAJES ESPERADOS: PROGRESION ARITMETICA
· Identifica, é interpreta las Progresiones: Aritméticas y Geométrica
• Discrimina los cálculos de términos en la progresión aritmética· Aplica los cálculos de la suma de términos y la interpolación en la Progresión Aritmética
APRENDIZAJES ESPERADOS: PROGRESION GEOMETRICA•Discrimina los cálculos de términos en la progresión aritmética· Aplica los cálculos de la suma de términos y la interpolación en la Progresión Aritmética
APRENDER A HACER: PROBLEMA RESUELTO
APRENDER A CONVIVIR: Problemas Propuestos en clase
SUCESIONES; Es una función aplicación en donde el dominio son los números naturales y el rango es un conjunto ordenado de elementos; también se puede decir que: Una sucesión numérica (para ampliar información hacer click en el enlace) es un conjunto ordenado de números. Toda sucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.
NUMEROS O SUCESION DE FIBONACCI (más información hacer click en el enlace)
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es: xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
PROGRESION ARITMETICAEs una sucesión de términos en donde la RAZON o llamada también DIFERENCIA de dichos términos es una CONSTANTE. La razón aritmética es una operación básica de adición y sustracción
NUMEROS O SUCESION DE FIBONACCI (más información hacer click en el enlace)
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es: xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
PROGRESION ARITMETICAEs una sucesión de términos en donde la RAZON o llamada también DIFERENCIA de dichos términos es una CONSTANTE. La razón aritmética es una operación básica de adición y sustracción
Ejemplos
1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es: xn = 3n-2
2; 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37; ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es: xn = 5n-3
PROGRESION GEOMETRICAEs una sucesión de términos en donde la RAZON de dichos términos es una CONSTANTE. La razón geométrica es una operación básica de multiplicación y división
1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es: xn = 3n-2
2; 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37; ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es: xn = 5n-3
PROGRESION GEOMETRICAEs una sucesión de términos en donde la RAZON de dichos términos es una CONSTANTE. La razón geométrica es una operación básica de multiplicación y división
Ejemplos:
3; 6; 12; 24; 48; 96; ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.La regla es: xn = 2n . METACOGNICION: Haremos uso de nuestro razonamiento en la manera de razonar en la solucion de situaciones problematicas, tal es el caso de: CUANTAS REGIONES Y LINEAS SE FORMAN, AL DOBLAR UNA HOJA DE PAPEL POR SU MITAD SUCESIVAMENTE HASTA 10 VECES? manos a la obra y a razonar sobre todo relacionando con el tema de Progresiones Geometricas.
3; 6; 12; 24; 48; 96; ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.La regla es: xn = 2n . METACOGNICION: Haremos uso de nuestro razonamiento en la manera de razonar en la solucion de situaciones problematicas, tal es el caso de: CUANTAS REGIONES Y LINEAS SE FORMAN, AL DOBLAR UNA HOJA DE PAPEL POR SU MITAD SUCESIVAMENTE HASTA 10 VECES? manos a la obra y a razonar sobre todo relacionando con el tema de Progresiones Geometricas.
CARPETA PEDAGOGICA:TITULO DE LA UNIDAD: CONSTRUYENDO LOS SISTEMAS NUMERICOS Y PROGRESIONES
TEMA: PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA
APRENDIZAJES ESPERADOS: PROGRESION ARITMETICA
· Identifica, é interpreta las Progresiones: Aritméticas y Geométrica
• Discrimina los cálculos de términos en la progresión aritmética· Aplica los cálculos de la suma de términos y la interpolación en la Progresión Aritmética
APRENDIZAJES ESPERADOS: PROGRESION GEOMETRICA•Discrimina los cálculos de términos en la progresión aritmética· Aplica los cálculos de la suma de términos y la interpolación en la Progresión Aritmética
CONSTRUYENDO SISTEMAS NUMÉRICOS
Nociones previas: Antes de abordar este tema veamos la recuperación de conocimientos o algunas nociones preliminares
1. La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R = Q U I .
2. El conjunto de los reales, con el orden inducido en N, Z y Q son conjuntos totalmente ordenado.
3. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta numérica, en la que cada punto representa un número.
4. Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q è I son heredadas por R.
5. Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
6. A diferencia de N, Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable
DENSIDAD DE LOS NUMEROS REALES O ARQUIMEDIANA
Dado dos números reales diferentes x è y, su promedio (x+y)/2 está comprendido entre x è y. Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. De donde afirmamos:
1. Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.
2. Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.
De; 1 y 2 se describen en lenguaje matemático diciendo, respectivamente, que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales y que el conjunto de los
números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.
POR LO TANTO: El Q es denso en R. también I es denso en R.
1. La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R = Q U I .
2. El conjunto de los reales, con el orden inducido en N, Z y Q son conjuntos totalmente ordenado.
3. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta numérica, en la que cada punto representa un número.
4. Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q è I son heredadas por R.
5. Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
6. A diferencia de N, Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable
DENSIDAD DE LOS NUMEROS REALES O ARQUIMEDIANA
Dado dos números reales diferentes x è y, su promedio (x+y)/2 está comprendido entre x è y. Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. De donde afirmamos:
1. Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.
2. Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.
De; 1 y 2 se describen en lenguaje matemático diciendo, respectivamente, que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales y que el conjunto de los
números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.POR LO TANTO: El Q es denso en R. también I es denso en R.
COMPLETITUD DE IRLa propiedad de completitud de IR dice que los números reales “rellenan la recta numérica”', o que no “dejan huecos en la recta”. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la interpretación geométrica de éstos 
como puntos de una recta.
Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales “ubicados” a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales “ubicados” a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x ε A y y ε B se cumple x ≤ y. La completitud dice que hay un número real a que corresponde al punto P, y por lo tanto x ≤ a ≤y, para todo x ε A y todo y ε B.
CARPETA PEDAGOGICA:TITULO DE LA UNIDAD: CONSTRUYENDO LOS SISTEMAS NUMERICOS Y PROGRESIONES
TEMA: DENSIDAD Y COMPLETITUD DE LOS NUMEROS REALES
APRENDIZAJES ESPERADOS:
1· Compara propiedades utilizando axiomas de densidad y completitud de los números reales
como puntos de una recta.Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales “ubicados” a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales “ubicados” a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x ε A y y ε B se cumple x ≤ y. La completitud dice que hay un número real a que corresponde al punto P, y por lo tanto x ≤ a ≤y, para todo x ε A y todo y ε B.
CARPETA PEDAGOGICA:TITULO DE LA UNIDAD: CONSTRUYENDO LOS SISTEMAS NUMERICOS Y PROGRESIONESTEMA: DENSIDAD Y COMPLETITUD DE LOS NUMEROS REALES
APRENDIZAJES ESPERADOS:
1· Compara propiedades utilizando axiomas de densidad y completitud de los números reales
GEOMETRIA DE LOS SOLIDOS: LA ESFERA
Es un sólido que se genera mediante una rotación de 360° de un semicírculo alrededor de su diámetro. Superficie esférica, es generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro
Elementos de la esfera:
1. Centro
2. Generatriz
3. Eje de giro
4. Radio
Veamos ahora en Diapositivas:
Elementos de la esfera:
1. Centro
2. Generatriz
3. Eje de giro
4. Radio
Veamos ahora en Diapositivas:
APRENDER A HACER: PROBLEMA RESUELTO
Te dejo aquí un modelo de la aplicación de esfera
APRENDER A CONVIVIR: Problemas Propuestos en clase
AUTO EVALUACION: PROBLEMAS; Ahora... Te toca a ti a Aprender a Hacer, resolviendo los Problemas Propuestos de la aplicación de esfera en grupos de 2:
1. En un pueblo de Delta Diquis (Costa Rica) se descubrieron piedras esféricas como las de la foto. Calcular: El área de la piedra si tiene un diámetro de 2,1 metros ; Donde: ∏= 3,14
2. Un cubo esta circunscrita a una esfera. Se sabe que el área del cubo es de 150 cm2. Calcular: el área de la esfera inscrita. Donde: ∏= 3,14 Área del cubo: 6a2
3. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar un acuario esférico, si tiene un diámetro de 60 cm?. Si: ∏= 3,14 y 1 litro = 1000 cm3
4. Calcula el área de una esfera de 0,8 m de diámetro.
5. Halla el área de una esfera de 1 m de radio.
6. Calcular el área en de una esfera cuyo diámetro mide 12 cm.
7. Calcula en km2 el área de la superficie terrestre, si el radio de la Tierra es 6370 km.
8. Calcula el volumen en cm3 de una esfera de 14 cm de diámetro
9. Un cubo esta circunscrita a una esfera. Se sabe que el área del cubo es de 216 cm2. Calcular: el área de la esfera inscrita. Donde: ∏= 3,14
10. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar un acuario esférico, si tiene un diámetro de 80 cm?. Si: ∏= 3,14 y 1 litro = 1000 cm3
11. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar un acuario esférico, si tiene un radio de 20 cm?. Si: ∏= 3,14 y 1 litro = 1000 cm3
12. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un cono equilátero de 9 cm. De altura. Rpta: 36∏ cm3
“PREPÁRATE…. para ser COMPETENTE…… ” - “LA PRÁCTICA ES EL CAMINO AL DOMINIO”
CARPETA PEDAGOGICA:
1. SESION DE APRENDIZAJE; SOLIDOS DE REVOLUCION: Esfera(también lo puedes imprimir desde la Columna Izquierda: SESIONES DE APRENDIZAJE)
1. En un pueblo de Delta Diquis (Costa Rica) se descubrieron piedras esféricas como las de la foto. Calcular: El área de la piedra si tiene un diámetro de 2,1 metros ; Donde: ∏= 3,14
2. Un cubo esta circunscrita a una esfera. Se sabe que el área del cubo es de 150 cm2. Calcular: el área de la esfera inscrita. Donde: ∏= 3,14 Área del cubo: 6a2
3. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar un acuario esférico, si tiene un diámetro de 60 cm?. Si: ∏= 3,14 y 1 litro = 1000 cm3
4. Calcula el área de una esfera de 0,8 m de diámetro.
5. Halla el área de una esfera de 1 m de radio.
6. Calcular el área en de una esfera cuyo diámetro mide 12 cm.
7. Calcula en km2 el área de la superficie terrestre, si el radio de la Tierra es 6370 km.
8. Calcula el volumen en cm3 de una esfera de 14 cm de diámetro
9. Un cubo esta circunscrita a una esfera. Se sabe que el área del cubo es de 216 cm2. Calcular: el área de la esfera inscrita. Donde: ∏= 3,14
10. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar un acuario esférico, si tiene un diámetro de 80 cm?. Si: ∏= 3,14 y 1 litro = 1000 cm3
11. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar un acuario esférico, si tiene un radio de 20 cm?. Si: ∏= 3,14 y 1 litro = 1000 cm3
12. Calcular el volumen de la esfera inscrita en un cono equilátero de 9 cm. De altura. Rpta: 36∏ cm3
“PREPÁRATE…. para ser COMPETENTE…… ” - “LA PRÁCTICA ES EL CAMINO AL DOMINIO”
CARPETA PEDAGOGICA:
1. SESION DE APRENDIZAJE; SOLIDOS DE REVOLUCION: Esfera(también lo puedes imprimir desde la Columna Izquierda: SESIONES DE APRENDIZAJE)