NOCIONES PREVIAS: Antes de abordar la semejanza de triángulos recordemos la congruencia de figuras geométricas; Decimos que dos o mas figuras geométricas son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. En cuanto se refiere aCONGRUENCIA DE TRIANGULOS: Dos triángulos serán congruentes si sus lados y ángulos correspondientes tienen exactamente la misma medida, es decir cuando se cumplan los siguientes postulados:
Postulado 1 : Correspondencia LAL (Lado-ángulo-lado)
Postulado 2 : Correspondencia ALA (Angulo-Lado-Angulo)
Postulado 3: Correspondencia LLL (Lado-Lado-Lado)
EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN LA VIDA COTIDIANA
Postulado 3: Correspondencia LLL (Lado-Lado-Lado)
EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN LA VIDA COTIDIANA
En la vida cotidiana al mencionar el término de semejanza, nos preguntamos si estamos haciendo referencia a:
· ¿Objetos que se parecen?· ¿Objetos de igual tamaño?· ¿Objetos de igual forma?· ¿Objetos exactamente iguales?. Tal como vemos en la figura:
· ¿Objetos que se parecen?· ¿Objetos de igual tamaño?· ¿Objetos de igual forma?· ¿Objetos exactamente iguales?. Tal como vemos en la figura:
Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales.Por ejemplo:
1. El color del libro de Ken es semejante al color del libro de Ed.
2. La pelota de tenis es semejante a la de fútbol.
3. La estatura de Ana es semejante a la de Beto.
4- Los gemelos Quispe son tan semejantes que no es fácil diferenciarlos.
5. La llave que usa el Portero, para abrir la puerta del aula, es semejante a la del auxiliar, etc. Notamos; que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño o forma. Por lo que el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.
EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN MATEMÁTICA.- El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes, si "guardan" una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.
1. Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000 es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.
1. Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000 es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.
2. La construcción de maquetas a escala sean: edificios, aviones, barcos entre otros; requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
3. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 10x15 cm. que luego es ampliada a 40x60 cm. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, es decir: las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.
FIGURAS SEMEJANTES
Dos figuras son SEMEJANTES si:
1. Todos sus ángulos son congruentes o iguales
1. Todos sus ángulos son congruentes o iguales
2. Sus lados HOMOLOGOS, son Proporcionales
Ejemplos de la figura adjunta:
· Todos los triángulos son semejantes entre si
· Todos los triángulos son semejantes entre si
· Todos los cuadrados son semejantes
·Todos los hexágonos regulares son semejantes
DEFINICIÓN, Se puede afirmar con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Es decir: Dos triángulos son semejantes si los ángulos interiores homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
Notación: Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante ( ~ ) con el triángulo A’B’C’, se escribe: Triángulo ABC ~ Triángulo A’B’C’; de acuerdo a los siguientes criterios:
Notación: Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante ( ~ ) con el triángulo A’B’C’, se escribe: Triángulo ABC ~ Triángulo A’B’C’; de acuerdo a los siguientes criterios:
1.- ANGULOS INTERIORES HOMOLOGOS CONGRUENTES
2.- LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES
Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones. Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.
2.- LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALESAhora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones. Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.
Criterios de semejanza
Criterio1: Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son CONGRUENTES (A-A).
Criterio 2: Dos triángulos son semejantes cuando sus lados son proporcionales (L-L-L).
Criterio 3: Dos triángulos son semejantes cuando dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es CONGRUENTE (L-A-L).
PROPIEDADES:1. Si dos triángulos son semejantes, también son proporcionales los perímetros, las alturas, las medianas y las bisectrices.
2. Si trazamos una recta L secante a un triangulo ABC y paralela a uno de sus lados, se forma una triangulo parcial semejante al triangulo ABC
EJERCICIO RESUELTO
Criterio 2: Dos triángulos son semejantes cuando sus lados son proporcionales (L-L-L).Criterio 3: Dos triángulos son semejantes cuando dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es CONGRUENTE (L-A-L).PROPIEDADES:1. Si dos triángulos son semejantes, también son proporcionales los perímetros, las alturas, las medianas y las bisectrices.2. Si trazamos una recta L secante a un triangulo ABC y paralela a uno de sus lados, se forma una triangulo parcial semejante al triangulo ABC
EJERCICIO RESUELTO
Dado el triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cms respectivamente, se desea ampliar a escala 3:1.
SOLUCION:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROPUESTOS
1. En un mapa la escala es 1:50 000. Si en ese mapa la distancia entre 2 ciudades es de 4 cm. ¿Cuál es la distancia real entre esas dos ciudades?
• a) 2 km • b) 20 km • c) 200 km
2. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
3. Si, 2 triángulos tiene los lados proporcionales, entonces los triángulos son:• a) iguales • b) semejantes • c) proporcionales
4. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
5. La razón de semejanza de los triángulos se calcula mediante:• a) restándole la misma cantidad a sus lados
• b) sumándole la misma cantidad a sus lados
• c) dividiendo los perímetros
6. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2 VARIABLES
Definición.- Se llama sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones que presentan soluciones comunes.
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Clasificación de los Sistemas:1.Sistemas compatibles o posibles.-son aquellos que siempre tienen solución ya sea un número limitado o ilimitado, estos sistemas pueden ser:
Sistemas determinados.-son aquellos donde el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas, estos sistemas tienen solución única.
Sistemas indeterminados.-son aquellos donde el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, estos sistemas presentan infinitas soluciones.
2.Sistemas incompatibles, imposibles o absurdos.-son aquellos que carecen de conjunto solución, por estar sus ecuaciones en contradicción; su conjunto solución es el vacio.
3.Sistemas sobre determinados.-son aquellos que presentan mayor numero de ecuaciones que de incógnitas; para resolverlos se toman tantas ecuaciones como obtengan se remplazan en las ecuaciones restantes si es que verifican el sistema será compatible de lo contrario será incompatible.
METODOS:
1.METODO DE IGUALACION
2.METODO DE SUSTITUCION
3.METODO DE REDUCCION
4.METODO POR DETERMINANTES
5.METODO GRAFICO
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Clasificación de los Sistemas:1.Sistemas compatibles o posibles.-son aquellos que siempre tienen solución ya sea un número limitado o ilimitado, estos sistemas pueden ser:
Sistemas determinados.-son aquellos donde el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas, estos sistemas tienen solución única.
Sistemas indeterminados.-son aquellos donde el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, estos sistemas presentan infinitas soluciones.
2.Sistemas incompatibles, imposibles o absurdos.-son aquellos que carecen de conjunto solución, por estar sus ecuaciones en contradicción; su conjunto solución es el vacio.
3.Sistemas sobre determinados.-son aquellos que presentan mayor numero de ecuaciones que de incógnitas; para resolverlos se toman tantas ecuaciones como obtengan se remplazan en las ecuaciones restantes si es que verifican el sistema será compatible de lo contrario será incompatible.
METODOS:
1.METODO DE IGUALACION
2.METODO DE SUSTITUCION
3.METODO DE REDUCCION
4.METODO POR DETERMINANTES
5.METODO GRAFICO
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON 3 VARIABLES
La resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes, Hasta este momento has visto tres métodos para resolver ecuaciones lineales en dos variables: gráfico, por sustitución y eliminación. A continuación un método que te puede ser de utilidad para el mismo tipo de ejercicio que los métodos anteriores.
“La regla de Cramer”,Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes.
Determinantes 2 x 2
Si a, b, c y d son cuatro números reales, a la expresión
D = se le llama un determinante 2 x 2.
Su valor se determina con la expresión ad - bc. Es decir, multiplicamos en forma cruzada y restamos los productos. Es importante que lleves a cabo la multiplicación como se ilustra
“La regla de Cramer”,Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes.
Determinantes 2 x 2
Si a, b, c y d son cuatro números reales, a la expresión
D = se le llama un determinante 2 x 2.
Su valor se determina con la expresión ad - bc. Es decir, multiplicamos en forma cruzada y restamos los productos. Es importante que lleves a cabo la multiplicación como se ilustra
TEORÍA DE CONJUNTOS
Noción de conjunto.- La idea de conjunto es el de reunión o agrupación de objetos materiales o inmateriales, distintos y bien definidos. Ejemplo:
a) Los números enteros positivos forman un conjunto llamado:
“conjunto de los números enteros positivos”
b) Los bienes materiales, los recursos humanos y los sistemas forman un conjunto denominado: ”elementos que integran la empresa”
Notación y Representación.- Es un convenio el emplear las letras mayúsculas de nuestro alfabeto para designar a los conjuntos, y las minúsculas para designar a los elementos. Ejemplo:
o El conjunto formado por las vocales
V= {a; e; i; o; u}
Determinación De Un Conjunto.- Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y comprensión.
Por Extensión.- Un conjunto queda determinado por extensión cuando se representa todos y cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo: El conjunto de los 6 primeros números impares positivos, queda definido por extensión por la siguiente expresión:
I= {1; 3; 5; 7; 9; 11}
RELACIONES ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS
1. Relación de Pertenencia (Є).- Si “a” es un elemento del conjunto A lo denominamos: a Є A, y se lee: “a pertenece al conjunto A”. La negación se lee: a no pertenece al conjunto A.
2. Relación de Inclusión.- Si todo elemento de A es elemento del conjunto B lo leemos: A esta incluido en B.
3. Igualdad De Conjuntos.- Dos conjuntos son iguales si y solo sí tienen los mismos elementos, es decir si todo los elementos de un primer conjunto son elementos de un segundo conjunto y viceversa.
4. Cardinal de un conjunto.- n(A) Es elnúmero entero no negativo que indica la cantidad de elementos diferentes que tiene el conjunto A.
Ejemplo: A = {a; e; i; o; u} n(A)=5
5. Conjunto Potencia.- P(A)Es la familia de todos los subconjuntos de un conjunto A, se llama conjunto de potencia de A.
Clases de Conjuntos:
Conjunto Infinito
Conjunto Finitoa) Los números enteros positivos forman un conjunto llamado:
“conjunto de los números enteros positivos”
b) Los bienes materiales, los recursos humanos y los sistemas forman un conjunto denominado: ”elementos que integran la empresa”
Notación y Representación.- Es un convenio el emplear las letras mayúsculas de nuestro alfabeto para designar a los conjuntos, y las minúsculas para designar a los elementos. Ejemplo:
o El conjunto formado por las vocales
V= {a; e; i; o; u}
Determinación De Un Conjunto.- Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y comprensión.
Por Extensión.- Un conjunto queda determinado por extensión cuando se representa todos y cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo: El conjunto de los 6 primeros números impares positivos, queda definido por extensión por la siguiente expresión:
I= {1; 3; 5; 7; 9; 11}
RELACIONES ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS
1. Relación de Pertenencia (Є).- Si “a” es un elemento del conjunto A lo denominamos: a Є A, y se lee: “a pertenece al conjunto A”. La negación se lee: a no pertenece al conjunto A.
2. Relación de Inclusión.- Si todo elemento de A es elemento del conjunto B lo leemos: A esta incluido en B.
3. Igualdad De Conjuntos.- Dos conjuntos son iguales si y solo sí tienen los mismos elementos, es decir si todo los elementos de un primer conjunto son elementos de un segundo conjunto y viceversa.
4. Cardinal de un conjunto.- n(A) Es elnúmero entero no negativo que indica la cantidad de elementos diferentes que tiene el conjunto A.
Ejemplo: A = {a; e; i; o; u} n(A)=5
5. Conjunto Potencia.- P(A)Es la familia de todos los subconjuntos de un conjunto A, se llama conjunto de potencia de A.
Clases de Conjuntos:
Conjunto Infinito
Conjunto Vacio
Conjunto unitario
Conjunto referencial: (U)
OPERACIONES CON CONJUNTOS
A. UNION DE CONJUNTOS:
B. INTERSECCION DE CONJUNTOS
C. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
D. DIFERENCIA SIMETRICA
E. COMPLEMENTO
ATTE.
PROF. JAIME OCHARAN
ALUMNO: LUIS VALDIVIA